Емкости конденсаторов и геометрические свойства голоморфных функций
«Емкости конденсаторов и геометрические свойства голоморфных функций», проект № 14-11-00022. Грант Российского научного фонда.
Новизна
Все поставленные в проекте задачи являются новыми и представляют несомненный интерес в теории потенциала и геометрической теории функций.
Назначение
Проект направлен на развитие новых методов теории потенциала с целью решения конкретных задач геометрической теории функций комплексного переменного
Описание, характеристики полученных результатов
Установлена асимптотическая формула для емкости обобщенного конденсатора в случае, когда одна пластина этого конденсатора фиксирована, а остальные пластины суть континуумы, стягивающиеся к заданным точкам и с заданным поведением их логарифмических емкостей. Получена аналогичная формула в случае, когда все пластины суть вырождающиеся континуумы. Обе формулы показывают, что первые два члена в указанных асимптотиках не зависят от формы вырождающихся пластин. Описаны все случаи равенства в принципе круговой симметризации конденсаторов на римановых поверхностях. С помощью указанной симметризации установлены точные нижние и верхние оценки модулей функций, p-листных в среднем по окружности с нормировкой Монтеля. Данные оценки существенно учитывают расположение критических значений этих функций. Изучены квадратичные формы, коэффициенты которых зависят от значений функций Неймана. Установлена монотонность поведения таких форм при расширении области и поляризации, описаны экстремальные случаи равенства. В качестве приложений получены новые теоремы искажения для однолистных функций в конечносвязных областях.
Доказаны асимтотически точные неравенства марковского типа для тригонометрических полиномов в окрестности концевой точки компакта на вещественной оси. Доказаны асимтотически точные неравенства марковского типа для алгебраических полиномов в окрестности концевой точки компакта на окружности. Представлен способ построения экстремальной последовательности многочленов для указанных оценок. Рассмотрены аналоги полиномов Чебышева второго, третьего и четвертого родов в пространствах рациональных функций. Указанные рациональные функции являются экстремальными в неравенствах бернштейновского типа и оценках модуля с соответвующими весами. В частном случае описана процедура ортогонализации этих рациональных функций.
Реализована схема получения новых ортогональных многочленов в применении к биномиальному многочлену. Найдены соответствующие моменты, ганкелевы миноры, трёхчленные соотношения, функционал ортогональности для биномиальных ортогональных многочленов. Численно изучена асимптотика нулей этих многочленов и получена формула Родрига для первого многочлена последовательности. Найдены ещё две новые последовательности ортогональных многочленов, для которых найдены трёхчленные соотношения и ганкелевы миноры и меры ортогональности и выдвинуты гипотезы по нахождению соответствующих моментов.
Получены новые интегральные представления для обобщенных гипергеометрических функций всех типов, частными случаями которого являются представления обобщенных гипергеометрических функций типа Гаусса (q+1Fq) обобщенным преобразованием Стилтьеса, обобщенных гипергеометрических функций типа Куммера (qFq) преобразованием Лапласа и обобщенных гипергеометрических функций типа Бесселя (q-1Fq) косинус-преобразованием Фурье. Найдена предельная мера в указанных представлениях при при стремлении к нулю параметрического баланса (нуль-сбалансированный случай). С применением полученных представлений доказан ряд новых свойств обобщенных гипергеометических функций, включая условия полной монотонности и монотонности отношений, логарифмическая выпуклость по верхним параметрам, более слабые условия справедливости неравенств Люка. Получены новые неравенства для обобщенных гипергеометических функций типа Бесселя. Найдены условия неотрицательности и разложения в окрестности особой точки единица для G-функции Майера. Побочным результатом этого исследования является новое тождество для суммы отношений произведений синусов, простейшем частным случаем которого является тригонометрическая версия теоремы Птолемея о четырехугольниках, вписанных в окружность.
Доказаны теоремы о логарифмической вогнутости обобщенного синуса, зависящего от двух параметров, рассматриваемого как функция этих параметров. Изучены нормализованные обобщенные тригонометрические функции. Доказано, что такие функции не обладают свойством логарифмической выпуклости по параметру.
Рассмотрены обобщенные q-полиномы Бернулли высших порядков, получаемые с помощью p-адического интеграла над кольцом p-адических чисел. Доказано, что данные полиномы обладают свойством симметрии. Установлены некоторые тождества для q-расширений специальных полиномов, получаемые с помощью фермионного и бозонного q-интегралов на кольце p-адических чисел.
Научная и практическая значимость
Актуальность темы обусловлена наличием множества нерешенных проблем в геометрической теории функций, а также большим числом как прямых так и косвенных приложений предполагаемых результатов проекта. В этой связи представляется целесообразным развитие современных методов исследования и, в частности, емкостного подхода и способов симметризации конденсаторов, предложенных руководителем проекта для решения экстремальных задач. Полученные ранее результаты математиками разных стран доказывают высокую эффективность этого подхода и его потенциал далеко не исчерпан. Научная значимость решения проблемы состоит в новизне и оригинальности разрабатываемых методов и их применимости даже в тех случаях, когда существующие способы исследования не приводят к решению поставленных задач. Научная значимость подтверждается также наличием большого числа математиков в целом ряде стран, работающих над решением задач, которые будут изучены в рамках проекта.
Область(и) применения
Фундаментальные исследования в области теоретической и прикладной математики
Публикации по результатам проекта
- D. Karp (2014) Completely monotonic gamma ratio and infinitely divisible H-function of Fox International Conference on Orthogonal Polynomials, Integrable Systems and their Applications, Abstracts
- D. V. Dolgy, T. Kim, D.S. Kim, S.H. Rim (2014) Some identities of special q-polynomials Journal of Inequalities and Applications
- D. V. Dolgy, T. Kim, S.H. Rim, S.H. Lee. (2014) Symmetry identities for the generalized higher-order q-Bernoulli polynomials under arising from p-adic Volkenborn integral on Zp Proceedings of Jangjeon Mathematical Society
- D. V. Dolgy, Yu S. Jang, T. Kim, H. I. Kwon, J. J. Seo. (2014) Identities of symmetry for q-Euler polynomials derived from fermonic integral on Zp under symmetry group S3 Applied Mathematical Sciences
- D. V. Dolgy, Yu S. Jang, T. Kim, J. Seo. (2014) Identities of symmetry for generalized higher-order q-Euler polynomials under S3 Applied Mathematical Sciences
- D.V. Dolgy, T. Kim, S.H. Lee, S.H. Rim (2014) Some symmetric identities for generalized higher-order q-Euler polynomials under D3 which are derived from ordinary fermionic integral on Zp Advanced Studies in Contemporary Mathematics
- Dubinin, Vladimir N. (2014) Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory Basel: Birkhäuser/Springer, 2014.
- E.G. Prilepkina (2014) Quadratic forms involving The 22nd International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, August 8-11, 2014 Doggguk University, Gyoengju. Book of Abstracts
- Дубинин В.Н. (2014) Асимптотическое поведение емкости конденсатора при стягивании некоторых его пластин в точки Математические заметки
- Дубинин В.Н. (2015) Круговая симметризация конденсаторов на римановых поверхностях Математический сборник
- Дубинин В.Н. (2014) Неравенства для модулей функций, p-листных в среднем по окружности Записки научных семинаров ПОМИ
- Дубинин В.Н. (2014) О приведенном модуле комплексной сферы Сибирский математический журнал
- Калмыков С.И. (2014) О некоторых рациональных функциях, являющихся аналогами полиномов Чебышева. Записки научных семинаров ПОМИ
- Калмыкова Т.А. (2014) Свойства выпуклости и вогнутости обобщенных тригонометрических функций Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, том 50, Лобачевские чтения-2014, материалы XIII молодежной школы-конференции (Казань, 24-29 октября 2014 г.)
- Карп Д.Б. (2014) Представления и неравенства для обобщенных гипергеометрических функций Записки научных семинаров ПОМИ
- Павлов Н.А. (2014) Двухточечная теорема искажения для голоморфных ограниченных функций Сборник материалов XXXVIII Дальневосточной Математической Школы-Семинара имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 1-5 сентября, 2014 года
- Прилепкина Е.Г. (2014) О граничном искажении при конформном отображении Сборник материалов XXXVIII Дальневосточной Математической Школы-Семинара имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 1-5 сентября, 2014 года
- Прилепкина Е.Г. (2014) О квадратичных формах, порожденных функциями Неймана Записки научных семинаров ПОМИ
Стадия готовности к практическому использованию
Все результаты опубликованы в рецензируемых научных журналах и готовы к использованию.
Авторы
Руководитель проекта: Дубинин В.Н.
Исполнители проекта: Калмыкова Т. А. Карп Д. Б. Тяглов М. Ю. Долгий Д. В. Прилепкина Е. Г. Павлов Н. А. Калмыков С. И.